Знакомство школьников с понятием теорема

Формирование понятия функции в средней школе

знакомство школьников с понятием теорема

Разумеется, знакомство с доказательством дает возможность убедиться в Как показали исследования, это доступно (в пределах школьных теорем) уже в IV что отрезки равны, значит подвести под понятие «равные отрезки»;. В начальной стадии знакомства с понятием функции можно говорить о соответствии Основной набор школьных функций - числовые. Один из на применение ранее изученных понятий и теорем? практического характера?. оно подготавливает читателя к доказательству тех теорем, которые уже первого знакомства с теоремой Пифагора на основе понятий векторного.

Следует также отметить, что в литературе встречаются лишь упоминания о необходимости формирования у учащихся 1У-У1 классов потребности в обосновании истинности утверждений или отдельные примеры, однако исследование не доведено до описания системы такой работы. Таким образом, проблема обучения учащихся доказательствам теорем в курсе геометрии восьмилетней школы является актуальной.

Проблемой нашего исследования и является обучение учащихся доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы. Предметом исследования являются структуры доказательств теорем школьного курса геометрии У1-УШ классов и умение доказывать.

знакомство школьников с понятием теорема

Объектом исследования является обучение учащихся геометрии в У1-УШ классах. Цель исследования - определение реальных возможностей совершенствования обучения учащихся доказательству в курсе геометрии У1-УШ классов и разработка методики их реализации.

Гипотеза данного исследования заключается в том, что с помощью разработанной методики и средств обучения можно совершенствовать умения учащихся проводить доказательства геометрических утверждений. В соответствии с целью и проблемой исследования были поставлены следующие задачи: При решении поставленных задач были использованы следующие методы исследования: Научная новизна исследования заключается в следующем: Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная система упражнений может непосредственно использоваться в практике обучения.

Кроме того, по описанной в диссертации методике учителя могут сами составлять подобные упражнения. Разработанные методические требования к системе упражнений можно реализовать при изучении курса планиметрии восьмилетней школы.

По существу диссертационного исследования автор выступал на: Разработанная автором методика обучения доказательству в курсе геометрии восьмилетней школы внедрена в школах города Андижана, Андижанской и Наманганской областей Узбекской ССР. Цель подготовительного этапа, место которого - курс математики 1У-У классов, заключается в формировании у учащихся потребности аргументировать утверждения и в обучении их проведению простейших умозаключений.

Эта цель достигается через систему специальных упражнений, при составлении которых учитывается, что, выполняя их, учащиеся должны не только обучаться умению доказывать, но и усваивать материал, предусмотренный программой.

Цель ознакомляющего этапа, который связан с изучением геометрии в У1 классе, состоит в продолжении работы по воспитанию потребности в аргументации, в обучении построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, в демонстрации процесса доказательства в действии. Знакомство с процессом дока - зательства производится через вскрытие логических форм, используемых в доказательствах учебника неявно.

Цель обучающего этапа, связанного с курсом геометрии УП-УШ классов, заключается в обучении учащихся самостоятельному проведению дедуктивных рассуждений. Достижение этой цели осуществляется посредством решения системы упражнений на доказательство, которая строится в соответствии с развитием курса геометрии и путем увеличения сложности доказательств по таким параметрам: Доказательства в учебниках геометрии даются в сжатой форме, при этом, хотя в них и имеются ссылки на аксиомы, теоремы, определения, логическая структура этих ссылок остается за пределами доказательства.

Использование "свернутых" доказательств позволяет ярче показать идею доказательства. С целью ознакомления учащихся с логической структурой доказательства полезно уже известное доказательство представить в логически развернутой форме, четко указывая посылки, заключение и аргументацию каждого шага. Логический анализ доказательства позволяет учителю выявить наиболее трудные для учащихся места, найти методические средства для преодоления этих трудностей. Логически развернутое доказательство - лучшее средство для выработки навыков последовательного и обоснованного рассуждения, при таком доказательстве нет места механическому заучиванию.

Большие затраты времени, требующиеся для проведения таких доказательств, конпенсируются лучшим пониманием и усвоением материала. При обучению доказательству в нашей методике используется система специальных упражнений. На подготовительном этапе, отра - батывая с учащимися простейшие схемы рассуждений, мы использовали, в основном, упражнения из учебников математики для 1У-У классов, в которых для обоснования ответа требуется применение определения того или иного объекта либо свойства объекта.

Выполняя такие упражнения, учащиеся на содержательном уровне осваивают схемы рассуждений по ууиосЬил ponens ив то же время происходит усвоение математических понятий и фактов. На этом этапе учащиеся знакомятся также с рассуждениями, построенными по правилу силлогизма. При построении упражнений, предназначенных для формирования у учащихся потребности в обосновании утверждения, использовался конкретный материал учебников математики 1У-У классов, причем упражнения строились так, чтобы имелась принципиальная возможность получения ответа непосредственным применением известных учащимся алгоритмов, но это получение было сопряжено с большими трудностями технического характера, рассуждением же решение находилось почти.

Использовались и некоторые другие возможности. На ознакомляющем и обучающем этапах наряду с упражнениями указанных типов использовались также упражнения на построение умозаключений по другим схемам, упражнения на построение цепочек умозаключений, решались также геометрические задачи на доказательство и вычисления. Экспериментальное исследование эффективности разработанной нами методики показало, что она обеспечивает достижение поставленной цели - более эффективное развитие у учащихся умения доказывать.

Кроме того, часто встречаются предложения-предикаты. Эти предложения являются компонентами умозаключений, выступая в них либо в качестве посылок, либо в качестве заключения. Сами же умозаключения строятся по определенным правилам. Процесс доказательства состоит в последовательном применении этих правил. Для осознанного усвоения доказательства необходимо понимание как логических структур предложений-посылок или заключений-умозаключений, так и структур самих умозаключений.

Кроме того, требуется еще определенная готовность воспринимать доказательство, ощущение его потребности. Наше исследование решает проблему обучения учащихся восьмилетней школы доказательству в аспекте формирования у учащихся готовность воспринимать доказательство и в аспекте обучения их проведению умозаключений, цепочек умозаключений, ведущих к це - ли, то есть к установлению истинности рассматриваемого утверждения.

знакомство школьников с понятием теорема

Анализ умозаключений, используемых в доказательствах из школьных учебников геометрии, показал, что наиболее часто используются умозаключения, построенные по правилам отделения, отрицания, силлогизма, полисиллогизма, контрапозиции, удаления конъюнкции, введения конъюнкции, введения дизъюнкции, удаления дизъюнкции, приведения к абсурду, часто применяется теорема дедукции. В имеющихся учебниках по геометрии понятие доказательства почти не разъясняется, с его содержанием учащиеся знакомятся только на примерах см.

При построении учебника геометрии изучаемые теоремы не всегда удается расположить в последовательности постепенного нарастания сложности их доказательств: Но если нельзя или трудно изменить порядок расположения теорем курса геометрии, то расположение упражнений не является жестким.

Поэтому через систему упражнений возможно обучение учащихся умению доказывать. Для овладения этим умением учащиеся должны научиться строить определенного типа умозаключения, цепочки таких умозаключений, научиться отыскивать те предложения аксиомы, определения, ранее доказанные теоремыкоторые можно применить при доказательстве рассматриваемой теоремы.

Разработанная нами методика формирования умения доказывать исходит из того, что это формирование не единовременный акт, а длительный процесс. В этом процессе нами выделены см. Подготовительный этап связан с обучением математике в 1У-У классах. На этом этапе преследуются две цели: Эти цели достигаются посредством выполнения специальных упражнений. Ознакомляющий этап, место которого - курс геометрии У1 класса, имеет своими целями продолжение формирования потребности в аргументации, обучение построению более сложных, чем на подготовительном этапе, умозаключений, коротких цепочек умозаключений, демонстрация процесса доказательства в действии.

Знакомство учащихся с процессом доказательства происходит посредством обнаружения форм умозаключений, используемых в доказательствах учебника геометрии неявно. Обнаружение форм умозаключений происходит через логическое расчленение доказательства. Обучающий этап связан с курсом геометрии УП-УШ классов. Цель этого этапа состоит в обучении самостоятельному проведению доказательств.

Достижение целей обучающего этапа осуществляется через решение системы упражнений на доказательство. Эта система строится в соответствии с развитием курса геометрии и по линии увеличения числа требуемых в доказательстве умозаключений, сложности.

При построении также учитывалось разнообразие возможных при данных посылках правильных цепочек умозаключений, причем не все цепочки дают доказательство данного утверждения. Чем больше таких цепочек, тем сложнее найти нужную. При построении системы упражнений вначале даются упражнения с меньшим разнообразием возможных цепочек с меньшей неопределенностьюв дальнейшем эта неопределенность увеличивается. Система специальных упражнений - основное средство обучения учащихся доказательству по предлагаемой нами методике см.

Упражнения из этой системы в зависимости от той цели, которая преследуется при его выполнении, разбивается на несколько подсистем: Экспериментальная проверка эффективности предлагаемой нами методики формирования умения доказывать показала, что она может обеспечить высокую степень сформированности у учащихся данного умения, а это, в свою очередь, ведет к повышению качества усвоения учащимися курса геометрии.

Произведения основоположников марксизма-ленинизма 2. Маркс К, Энгельс Ф. О воспитании и образовании. Черненко на апрельском г. Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы. О дальнейшем совершенствовании обучения, воспитания учащихся общеобразовательных школ и подготовки их к труду: О преподавании логики и психологии в средней школе.

Поихолого-педагогическая и математическая литература Актуальные вопросы методики преподавания математики: Проблемы обобщения геометрических знаний учащихся восьмилетней школы. Развитие логического мышления учащихся и решение задач на доказательство в У1-УП классах. Элементы логики в курсе математики средней школы.

Состав и методика формирования геометрических умений школьников. Ученые записки Пензенского гос. Как оптимизировать процесс обучения. Проблемы повышения эффективности педагогических исследований. Сборник геометрических задач на доказательство. Психология усвоения- знаний в школе. Вопросы преподавания геометрии в восьмилетней школе. Использование логической символики при работе с определениями. Воспитание логических навыков при изучении математики.

Методика преподавания математики в средней школе. Формирование умений осуществлять поиск геометрических доказательств. Преподавание алгебры и геометрии в школе.

Методика обучения элементам доказательства в курсе математики 1У-У классов. Методы решения геометрических задач,- Минск: Об этапах овладения силлогистическими умозаключениями.

Ученые записки Глазовского. Понимание и усвоение школьниками П, 1У и У1 классов некоторых форм дедуктивных умозаключений. Ученые записки ЛГПИ. О вступительных экзаменах в МИШ. Ленина в г. Сборник задач по геометрии для классов: Учебник для средней школы. К вопросу о методике доказательства геометрических теорем в У1-УП классах. Внеклассная работа по математике в 1У-У классах.

К вопросу о методике преподавания геометрии в У1-УП классах. Математика в школе,N5 3.

знакомство школьников с понятием теорема

Принципы, формы и методы обучения математике. О видах и структурах учебных задач. Советская педагогика,N2 3. Применение математической статистики в педагогических исследованиях: Одна из основных причин слабой успеваемости учащихся У1 класса по геометрии. О психологических основах построения системы упражнений по математике и методике преподавания геометрии в У1-УП классах.

Учебное пособие для сред. Как помочь учащемуся находить путь к решению геометрических задач. О вступительных экзаменах в Бакинское высшее общевойсковое командное училище в г. Виды обобщения в обучении. О предмете и методах дидактических исследований. Изучение первых геометрических понятий и доказательств. Оперирование понятиями при рншении геометрических задач.

Методические аспекты проблемы развития мышления и языка школьников при обучении математике. Устойчивость ошибок учащихся восьмилетней школы, допускаемых в процессе решения геометрических задач на доказательство и пути преодоления этих ошибок. Об одном важном требовании к учебникам по геометрии. Изучение геометрии в 6 классе.

Некоторые вопросы теории и практики. Задачи и упражнения в школьном курсе геометрии как средство активизации мыслительной деятельности учащихся. Киев, ,- 23. О системе основных понятий и обозначений- для школьного курса геометрии. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся средней школы. Основные понятия современного школьного курса математики.

Просвещение, ,-. Задачи в обучении математике, ч. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. Обучение математике через задачи и обучение решению задач. О результатах итоговой контрольной работы по геометрии в X классе. О доказательстве теорем в курсе геометрии Л класса.

Методика и дидактика геометрии. Психология обучения и воспитания школьников. Доказательство геометрических теорем методом от противного. Математика в школе,Ш 2.

Метод обучающих задач в преподавании математики. Математика в школе,life 5. К проблеме интуиции в математике. Ученые записки Ташкентского.

Воспитание логического мышления учащихся на основе математической логики. Организация проблемного обучения в школе. Математика в 4 классе: Методика преподавания математики в средней школе: Очерк логических основ методов математического доказательства.

Вопросы преподавания математики в средней школе: Геометрия в 6 классе. Различные способы доказательства в курсе геометрии восьмилетней школы: Методические рекомендации к преподаванию курса У1 класса по учебнику "Геометрия" А. Геометрические задачи в 8-летней школе. Основы дедукции в начальном курсе геометрии. Цель, проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи исследования.

Это первая задача исследования. Процесс обучения в большой мере определяется тем, какая психологическая теория лежит в основе организации усвоения. Поскольку, как уже отмечалось, определение вектора как направленного отрезка приводит к появлению устойчивых недостатков, возникла необходимость найти такой способ введения понятия вектор, который позволяет доступно и математически корректно сформировать у учеников данное понятие.

Это третья задача исследования. Отсюда следует пятая задача исследования: Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих методов исследования: Методологической основой исследования явились: Гальперина; - исследования педагогов по реализации оптимизации учебного процесса; - разработки в области педагогики и методики обучения математике по формированию приемов учебной деятельности и дидактических средств управления этой деятельностью.

Преодолены недостатки введения понятия вектора; дано описание, позволяющее сделать так, чтобы вводимое понятие было математически корректно и, вместе с тем, оказалось в зоне актуального развития ученика. В частности, удалось найти доказательства, которые позволили не рассматривать весьма трудные для учеников частные случаи.

В соответствии с рекомендациями психологов, формулировки определений и теорем структурированы, что сделало их существенно более понятными ученикам и удобными для оперирования.

Разработаны средства обучения, позволяющие организовать собственную работу учеников, обеспечивающую адекватное оперирование с новыми знаниями. Теоретическая значимость проведенного исследования определяется тем, что разработаны методические подходы, позволяющие не только дать доступное ученикам, математически корректное описание понятия вектора и более естественные и простые для учеников доказательства векторных теорем, но и способствующие обучению поиску доказательств.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается: Материалы предлагаемого исследования обсуждались на научно-практической конференции по итогам научной работы. Mill У, апрель г.

Изучение теорем в школьном курсе математики

Гальперина февраль г. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографии. Во введении обоснована актуальность исследования; определена проблема научного поиска; намечены задачи теоретического и экспериментального характера; установлены объект, предмет и гипотеза исследования; показаны новизна, теоретическая и практическая значимость; сформулированы положения, выносимые на защиту.

В этой главе проанализировано, как осуществлялось проникновение векторного метода в школы нашей страны. Яглома, которое, до появления учебника этих же авторов, раскрывала учителям возможные способы определения понятия вектора.

В данном пособии авторы рассмотрели наиболее возможные в школьном курсе планиметрии способы определения этого понятия. В частности, они аргументировали отказ от определения вектора через параллельный перенос, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании представляется им недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах. Авторы приняли в качестве основного следующее определение вектора: И считают, что разумнее всего определять в школе вектор как направленный отрезок.

Но при этом отмечают, что учитель должен понимать разницу между понятиями вектора и направленного отрезка. В учебнике тех же авторов, который вышел в году, вектор введен как направленный отрезок. Яглом вновь предупреждают о тех трудностях, которые неизбежно возникнут, если определить вектор как направленный отрезок.

знакомство школьников с понятием теорема

К примеру, о том, что при таком определении вектора происходит подмена математических понятий, а именно подмена понятия равенства понятием эквивалентности. К сожалению, в данном пособии авторы не сообщают, как избежать таких трудностей. Яглома просуществовал в школе только два года и авторы не успели внести какие-либо уточнения в определение понятия вектора. К началу г.

Вы точно человек?

Колмогорова, а в х годах под его редакцией появляются учебные пособия по геометрии для классов. В курсе геометрии, разработанном под руководством А. Колмогорова, вектор определялся как параллельный перенос: Он выбрал наиболее доступное, по его 1 Болтянский В. Но данное определение вектора также нельзя признать удачным. Оно, как и предупреждали В. Яглом, оказалось недоступным ученикам.

Данный курс геометрии и, в частности, определение понятия вектор, вызвал бурную критику со стороны учителей, методистов, родителей, а также со стороны Отделения математики АН СССР. К сожалению, предостережение А. Колмогорова о том, что определение вектора как направленного отрезка математически некорректно не нашло отражения в школьных учебниках, включая ныне действующие.

На наш взгляд причина этого в том, что не удалось сформулировать одновременно и математически корректное, и доступное ученикам определение понятия 1 вектора.

знакомство школьников с понятием теорема

Нельзя не согласить с точкой зрения В. При этом два вектора считаются равными, если имеют одну и ту же длину и направление. Однако такое определение равенства векторов не вполне корректно, так как тем самым отождествляются два хотя и родственных, но различных понятия: Полагаем, что имеет смысл прислушаться к мнению В.

Рыжика, который считает, что на вопрос о том, как преодолеть возникающие трудности, должны дать ответ методисты. Как возможный вариант решения он предлагает поступиться логической безупречностью при начальном введении понятия, если только это не приводит к прямым ошибкам.

Именно по этому пути мы пошли во второй главе исследования, отказавшись от строгого определения понятия вектора. В действующих учебниках определение вектора практически одинаково. Установлено, что такие свойства векторов как свойства суммы векторов, I произведения вектора на число и.

Например, очень сложно объяснить ученикам, почему при доказательстве переместительного закона сложения векторов требуется рассматривать коллинеарные и неколлинеарные векторы, а в случае сочетательного закона при доказательстве, которого используются не коллинеарные векторы, не требуется рассматривать еще какие-либо случаи. Как подчеркивает профессор В. Гусев, на сегодняшний день все учебники излагают уже готовые мысли, часто совершенно непонятно откуда взявшиеся, и без достаточных ссылок на те положения, из которых эти мысли получены.

Это приводит к неприятию массовым учеником соответствующих текстов. Конечно, учитель старается преодолевать эти трудности, опытный квалифицированный учитель переписывает многие доказательства, ищет пути обучения учащихся рассуждать и доказывать.

Вы точно человек?

Вместе с тем, если бы этих трудностей не было, учитель мог бы свою деятельность направлять по более эффективному пути. Во второй главе исследования показано, как можно устранить те устойчивые недостатки, которые были выявлены в первой главе.

Показано, что в настоящее время разработана эффективная теория усвоения - деятельностный подход Л. Само оперирование, в соответствии с теорией, необходимо организовать так, чтобы каждый шаг в выполнении первых заданий можно было проконтролировать. Прежде чем учащиеся перейдут к полностью самостоятельному оперированию с новыми знаниями необходимо обеспечить оперирование в речевой форме.

В исследовании это обеспечивается при помощи заданий рабочей тетради. Во втором параграфе показано, каким образом можно ввести понятие вектора так, чтобы оно было математически корректным и, вместе с тем, доступным ученикам. Учитывая, что не только ученики, но преподаватели нередко осознают вектор как состоящую из точек фигуру, мы определили направленный отрезок как упорядоченную пару точек.

Подчеркивая этим, что направленному отрезку, а в последствии и вектору, принадлежать лишь две точки, одна - начало направленного отрезка, а другая - конец.

В этом же параграфе формируется понятие направления направления луча, начинающегося в первой точке пары и проходящего через вторую точку и длины расстояния между точками пары направленного отрезка.